Coco e cocô

A consulta veio do outro lado do Atlântico, mais precisamente de Lisboa. Escreve de lá o leitor Nuno T.: "Professor, fiquei muito curioso quando li, num site do Reino Unido, que a palavra deles coconut ("noz de coco") tinha vindo do Português coco. Gostaria de saber se é verdade, pois isso seria para mim motivo de orgulho. Afinal, a gente só vive a importar... E por falar no dito, tenho outra dúvida que o senhor pode não responder, se não achar conveniente: e o cocó das criancinhas (ou cocô, como dizem em vosso país), por que é tão parecido? Haverá alguma relação com o fruto do coqueiro?".